Stabilität und Pole der Übertragungsfunktion Bei der Einführung des Begriffes der Stabilität in Abschnitt 4.4.4 Impulsantwort und Stabilität wird gezeigt, dass asymptotisch stabile Systeme eine abklingende Impulsantwort aufweisen müssen. Die Übertragungsfunktion G (z) ist die z-Transformierte der Impulsantwort g [k] Die Lage der Pole der Übertragungsfunktion H(s) in der (komplexen) s-Ebene gibt Aufschluss über die Stabilität des durch H beschriebenen Systems. Wenn die Pole in der positiven Halbebene liegen. H(s): Übertragungsfunktion H(s)= Zählerpolynom Nennerpolynom-Nennerpolynom heißt auch das charakteristische Polynom.-Polstellen der Übertragungsfunktion sind die Nullstellen des Nennerpolynoms.-Polstellen können komplex oder reell sein.-die Polstellen der Übertragungsfunktion beeinflussen die Stabilität und das Verhalten des LTI-Systems insgesamt In diesem Video erklärt Marius die Stabilität in der Mechatronik. Bisher kennen wir die Sprungantwort von Standardübertragungsgliedern. Ein System ist stabil.. Die Übertragungsfunktionen sind typischerweise Brüche von Polynomen. Solche Polynombrüche haben überall dort, wo das Nennerpolynom eine Nullstelle hat, eine Polstelle. Der Wert von G strebt dort gegen unendlich. Das Nyquistkriterium kann, sofern die Übertragungsfunktionen bekannt sind, sagen, ob ein Regelsystem stabil ist oder nicht. Man unterscheidet zwei Fälle. Beide sind nur anwendbar, wenn die Übertragungsfunktion
Bei zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität an der Übertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s-Ebene (Nennerpolynom der Laplace Übertragungsfunktion) abgelesen werden: Asymptotische Stabilität: wenn sämtliche Pole in der linken s-Halbebene liegen Interne Stabilität. Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises vorliegt: Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Stabilität und die Geschwindigkeit der Systembewegung. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems Die Positionen der Nullstellen in der Übertragungsfunktion sind von Interesse, weil sie Informationen über die Stabilität des Systems liefern. Eine Nullstelle - in der linken s-Halbebene - ist wie eine »Anti-Polstelle«: Bei jeder Nullstelle im System steigt die Verstärkung um 20 dB pro Dekade und wir erhalten eine um 90° voreilende Phase Eine Übertragungsfunktion beschreibt die Abhängigkeit des Ausgangssignals eines linearen, zeitinvarianten Systems (LZI-System) von dessen Eingangssignal im Bildbereich (Frequenzbereich, s-Bereich). Sie wird definiert als Quotient der transformierten Ausgangsgröße Y ( s ) {\displaystyle Y(s)} zur transformierten Eingangsgröße U ( s ) {\displaystyle U(s)} Die Nullstellen der Übertragungsfunktion haben keinen Einfluß auf die Stabilität des dynamischen Systems. Die Nullstellen beeinflussen aber sehr wohl die Stabilität des rückgekoppelten Systems
7.2 Stabilität • Der Regelkreis heißt stabil, falls das char. Polynom stabil ist. Falls dem so ist, sind alle möglichen Übertragungsfunktionen des Regelkreises stabil. • Stabile Systeme können durch eine Regelung instabil werden. • Stabilität kann nicht anhand einzelner Übertragungsfunktionen beurteilt werden. 7.4 Vereinfachter Regelkrei Die Stabilität von wird durch die Werte seiner Pole bestimmt: Für die Stabilität muss der Realteil jedes Pols negativ sein. Wenn durch Schließen einer Rückkopplungsschleife mit negativer Einheit um die Übertragungsfunktion mit offener Schleife gebildet wird , sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung auch die Nullen von oder einfach die Wurzeln von Die Übertragungsfunktion eines linearen dynamischen Systems wird definiert als Quotient der Laplacetransformierten der Ausgangsgröße Y (s) und der Eingangsgröße U (s): Lineare dynamische Übertragungsglieder werden in der Regelungstechnik durch gebrochen rationale Funktionen im Bildbereich (s-Bereich Untersuchung der Stabilität des Systems wird am mathematischen Modell des Systems durchgeführt. Da mathematische Modelle nicht absolut exakt sein können und sind, wird auch eine Kürzung (wie oben in der Übertragungsfunktion G(s)) i. A. nicht exakt der Realität entsprechen! Sei beispielsweise der (eine) Zahlenwert 2 in b des obigen Modells nich
Die Übertragungsfunktion beschreibt in der Regelungstechnik das Verhältnis vom Ausgangssignal zum Eingangssignal eines dynamischen Systems. Sie wird mit abgekürzt und im Bildbereich angegeben Ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied ist dann stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen Die Übertragungsfunktion des Reglers sei R(s) und die der Strecke S(s). wird als (open loop) Schleifenverstärkung bezeichnet. Es ist das komplexe Produkt der einzelnen Übertragungsfunktionen und hat Amplitude und Phase. Wieso? Regler und Strecke sind ja hintereinander geschaltet, also multiplizieren sich ihre Übertragungsfunktionen Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises vorliegt: Die Pole einer Übertragungsfunktion bestimmen die Stabilität und die Geschwindigkeit der Systembewegung. Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Amplituden des Systems
Ordnung aus dem Dämpfungsgrad D bestimmen können (Kap. 2.1.1), - die Stabilität eines Systems höherer Ordnung mit Hilfe der Übertragungsfunktion bis zu einem System 4.Ordnung durch Rechnung beurteilen können (Kap.2.1.2), - das Vorgehen und die grundlegenden Zusammenhänge zur Beurteilung der Stabilität nach dem Nyquist-Verfahren erklären können (Kap.2.2) Übertragungsfunktion diskreter Systeme: G(z)=Y(z)/U(z). Beispiel: z-Übertragungsfunktion eines PT. 1-Systems. Pole und Nullstellen der z-Übertragungsfunktion. Die Pole der . z-Über-tragungsfunkion sind die Lösungen der Gleichung . N(z) 0= Die Nullstellen der . z-Über-tragungsfunkion sind die Lösungen der Gleichung . Z(z) 0 stabil, wenn die Pole seiner Übertragungsfunktion sämtlich links der imaginären Achse der komplexen Ebene liegen. Re{s}=σ Im{s}=jω arg(s) |s| s Grundlegendes Stabilitätskriterium • Zu jedem Pol gehört ein exponentieller Ausgangssignalanteil - positive Realteile der Pole führen zu aufklingendem Verhalten nur ein-fache Pol
Es gibt Systeme, die man als grenzstabil bezeichnet. Dafür müssen die Pole der Übertragungsfunktion in der linken komplexen Halbebene oder auf der imaginären Achse liegen. Befinden sie sich auf dieser Achse, dürfen die Pole allerdings nicht doppelt sein. Das heißt, dass es keine doppelten Lösungen für ein S geben darf
